Vecteur

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Deux vecteurs et et le vecteur somme.

En mathématiques, un vecteur est un objet généralisant plusieurs notions provenant de la géométrie (couples de points, translations, etc.), de l'algèbre (« solution » d'un système d'équations à plusieurs inconnues), ou de la physique (forces, vitesses, accélérations, etc.).

Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. À ce sens, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à condition qu'il appartienne à un ensemble muni des opérations adéquates.

On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, dans le cas particulier des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions, par des flèches : cette représentation est issue de la combinaison des notions de couple de points de la géométrie euclidienne (qui permettent de définir les distances, mais aussi la direction et le sens), et des possibilités de calcul offertes par l'algèbre ; cela permet de donner un sens à des vecteurs définis en dimension deux (le plan), trois (l'espace euclidien usuel), mais plus généralement dans des espaces de dimension quelconque.

En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser des grandeurs comme une force, une vitesse, une accélération, une quantité de mouvement ou certains champs (électrique, magnétique, gravitationnel…). Une grandeur vectorielle s'oppose à une grandeur scalaire : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens.

Ces notions de champs, et les opérateurs permettant de les calculer, ont amené à définir, en algèbre multilinéaire, la notion de champ vectoriel, c'est-à-dire une fonction de ℝn dans ℝn. Ainsi, par exemple, résoudre une équation différentielle, c'est déterminer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs du champ.

Plus généralement encore, les vecteurs sont des cas particuliers de tenseurs (ils s'identifient aux tenseurs d'ordre un). Les tenseurs d'ordre deux sont représentés par des matrices, et les matrices d'une application linéaire transformant les vecteurs en forme linéaire constituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussi bivecteurs.

Histoire

La notion de vecteur est le fruit d'une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idées, d'abord distinctes, sont à l'origine de la formalisation. L'une d'elle est la géométrie, traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond à l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et plus généralement d'ensembles munis d'opérations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante : « On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun[1] ? »Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.

Origines des deux concepts

Les Éléments formalise une structure géométrique initialement utilisée pour décrire l'ancêtre de l'espace vectoriel.

La civilisation grecque développe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L'un des fleurons est le traité nommé les Éléments d'Euclide, datant du IIIe siècle IIIe siècle av. J.-C.. Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l'époque, d'une géométrie, encore maintenant appelée euclidienne. On y trouve les définitions d'une droite, d'un plan ou de notre espace physique de dimension trois permettant de modéliser des volumes. Les propriétés des distances, des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux appelés Thalès ou Pythagore, sont explicités et démontrés.

L'algèbre y est peu développée et contient essentiellement de l'arithmétique. Les nombres entiers et rationnels sont étudiés ainsi que quelques irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne s'écrivent pas sous forme d'une fraction d'entiers[2]. Les nombres sont toujours strictement positifs.

Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique ont en Chine un rôle analogue aux Éléments d'Euclide en occident.

La Chine développe les premières idées algébriques à l'origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement du Ier siècle Ier siècle av. J.-C.[3] : les Neuf Chapitres sur l'art mathématique y consacre sa huitième partie. Elle s'intitule Fang cheng ou Disposition rectangulaire et traite d'un problème maintenant appelé système d'équations linéaires. Cette culture n'en reste pas là, Qin Jiushao (1202 - 1261) généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise les congruences, inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier et aux alignements de planètes avec une très grande précision[4]. La méthode utilisée ne sera connue qu'au e siècle en Occident, sous le nom de pivot de Gauss. Ce résultat est suffisamment étonnant pour que Ulrich Libbrecht (en) précise que : « Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis le théorème des restes chinois de Sun Zi, on passe sans intermédiaire à un algorithme plus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n'y a pas la moindre indication d'une évolution graduelle[5]. »

L'aspect géométrique n'échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, le Gou gu comporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore[6].

Convergence de l'algèbre et de la géométrie

Illustration extraite du traité de perspective De prospectiva pingendi de Piero della Francesca, un peintre de la Renaissance italienne.

L'existence d'un lien entre ce que l'on appelle maintenant l'algèbre et la géométrie est ancienne. Les Babyloniens connaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d'un carré de côté de longueur un, à savoir que son carré est égal à deux. Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision[7]. Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.

Il faut cependant attendre la civilisation arabe pour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d'Euclide[8]. Les notations utilisées laissent penser qu'ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois[9]. Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique des coordonnées. Omar Khayyam (1048 - 1131) cherche les solutions d'un problème purement algébrique : trouver les racines d'un polynôme du troisième degré. Un système de coordonnées lui permet de visualiser ces racines comme les abscisses des intersections d'une parabole et d'une hyperbole[10].

Le système des coordonnées est repris en Europe. La volonté de maitriser la perspective pousse les peintres italiens à étudier les mathématiques. Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) découvre les lois de la perspective, issues d'une projection centrale[11]. Ces résultats sont formalisés[12] par Leon Battista Alberti (1404 - 1472). Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. Ainsi Piero della Francesca (vers 1412 - 1492), auteur d'un traité sur la question[13], est à la fois peintre et mathématicien. Giorgio Vasari (1511 - 1574) indique, à propos de ses talents de géomètre « il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout temps[14] ».

Apports de la physique

René Descartes utilise l'optique pour développer le concept de repère cartésien. L'illustration provient de son traité : Les Dioptriques.

La physique est le moteur suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En 1604, Galileo Galilei (1564 - 1642) établit[15] la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l'utilisation d'un repère. L'optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant. Pierre de Fermat (1601 - 1665), qui connaissait les écrits de Galilée, et René Descartes (1596 - 1650) s'écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se réfléchit sur un miroir) et à la réfraction (la déviation d'un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l'air à l'eau)[16]. Ils arrivent à la conclusion qu'un repère est une méthode systématique permettant d'appréhender tous les problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes[17]. Il écrit en introduction : « Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ». Pour Descartes, calcul d'arithmétique signifie approximativement ce qui est maintenant appelé algèbre. Cette approche est particulièrement féconde pour l'étude d'une branche naissante des mathématiques : la géométrie analytique. Un exemple est donné par l'étude de la cycloïde. Cette courbe décrit la trajectoire d'un point de la surface d'une roue se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal.

Isaac Newton (1643 - 1727) développe[18] la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine[19] de l'utilisation du terme vecteur. En 1704, un dictionnaire technique anglais indique :

« Une ligne dessinée depuis une planète, se déplaçant autour d'un centre ou du foyer d'une ellipse, jusqu'à ce centre ou ce foyer, est appelé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre[20]. »

Ce terme apparait en français sous la plume de Pierre-Simon de Laplace (1749 - 1827) dans l'expression rayon vecteur[21], encore dans un contexte astronomique. Il vient du latin vector provenant lui-même du verbe vehere qui veut dire transporter[22]. Pour les romains, le mot vector désignait aussi bien le passager que le conducteur d'un bateau ou d’un chariot. Les mots français véhicule, voiture, mais aussi invective proviennent de cette même racine latine. Son origine est plus ancienne, elle provient de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH et signifie chariot.

Ainsi, au e siècle, le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. En revanche, aucune formalisation n'est proposée et le terme, s'il est utilisé, désigne encore une grandeur scalaire.

Formalisations

Giusto Bellavitis est un mathématicien italien auteur de la formalisation des vecteurs par la notion de bipoint et d'équipollence.

La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié du e siècle. Bernard Bolzano publie un livre élémentaire[23] contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d'Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d'addition et de multiplication. La géométrie projective, héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduit Jean-Victor Poncelet et Michel Chasles à affiner[24],[25] les travaux de Bolzano. August Ferdinand Möbius apporte sa pierre à l'édifice en développant le système de coordonnées barycentriques[26]. Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, à partir des notions de bipoint et d'équipollence, est l'œuvre[27] de Giusto Bellavitis.

Une autre voie est explorée, purement algébrique. William Rowan Hamilton remarque que les nombres complexes représentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie[28] à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps des quaternions, de dimension quatre en 1843. Il propose deux nouvelles définitions pour les mots « vecteur » et « scalaire ». Un vecteur est pour lui un élément d'un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il écrit :

« Un vecteur est donc […] une sorte de triplet naturel (suggéré par la géométrie) : et en conséquence nous verrons que les quaternions offrent une représentation symbolique simple de tout vecteur sous forme trinomiale (ix + jy + kz) ; ce qui ramène la conception et l'expression d'un tel vecteur à la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires[29]. »

En 1878, dans Éléments de dynamique William Kingdon Clifford reprendra en la simplifiant la notion de quaternions. Il introduit en particulier le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs. Cette approche permit d'utiliser les vecteurs d'une manière plus calculatoire.

Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

Article détaillé : Espace vectoriel.

Approche géométrique

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace, fondée sur les axiomes d'Euclide. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Une visualisation intuitive d'un vecteur correspond à un déplacement d'un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, une translation. Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d'arrivée, une direction si le déplacement n'est pas nul, c'est la droite contenant le point de départ et d'arrivée et un sens, depuis le départ jusqu'à l'arrivée.

Définition

Les bipoints (A, B), (C, D), (E, F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deux parallélogrammes.

Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche), ayant pour extrémités un point de départ et un point d'arrivée. L’emplacement dans le plan ou l'espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d'origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.Si A et B sont deux points distincts, le vecteur possède trois éléments caractéristiques :

  • sa direction (droite (AB)) ;
  • son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ;
  • sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).

Attention cependant à ne pas confondre sens et direction. En effet, dans le langage courant, lorsqu'on se trouve sur une route entre Paris et Versailles et que l'on dit que l'on va dans la direction de Versailles, on se rapproche de cette dernière ville. Mais dans le langage mathématique, la direction est portée par la route (direction Paris-Versailles) sans savoir si l'on va de Versailles vers Paris ou de Paris vers Versailles. Pour savoir vers quelle ville on se dirige, il faudra aussi donner le sens : le sens Paris-Versailles par exemple pour indiquer que l'on va de Paris vers Versailles.

Une définition formelle utilise au préalable la notion de bipoint. Il est défini comme un couple de points. L’ordre a une importance : le premier point est appelé origine. Deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents lorsque les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints. Une classe d'équivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l'image du premier point par le déplacement.

La classe d'équivalence d'un bipoint (A, B) est appelée vecteur et est notée . Le bipoint (A, B) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.

Si les vecteurs peuvent être déplacés dans le plan, quant à eux, les points ne le sont pas. Ces derniers restent fixes. L'intérêt d'avoir un représentant d'un vecteur est d'obtenir, parmi les bipoints équipollents, un seul dont l'origine ou l'extrémité est fixée une fois pour toutes.

Ainsi deux bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A, A), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d'un vecteur qualifié de nul. Il est noté

.

Cet unique vecteur possède la propriété particulière d'avoir son origine et son extrémité confondues. Ce vecteur sera alors le seul à être représenté comme un point. Un vecteur représente un déplacement. Mais dans un vecteur nul, l'extrémité et l'origine étant confondues, il n'y a aucun déplacement. Cela veut donc dire que l'absence de déplacement est considérée comme un déplacement.

Les théories présentant les vecteurs comme une classe d'équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d'une flèche[30].

Longueur et angle

Article détaillé : produit scalaire.

La longueur d'un bipoint (A, B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur ont donc la même longueur, qui est appelée norme (ou module) du vecteur , et notée en général (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.Le vecteur nul est de norme nulle, .

L’angle que forment deux vecteurs et est noté

Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom de torseur[36]. Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d'autres généralisations, on peut citer le tenseur ou le pseudovecteur.

Informatique

Image vectorielleImage matricielle
Image vectorielleImage matricielle
Image vectorielleImage matricielle

L'informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d'une image sur un écran d'ordinateur utilise au choix deux techniques : matricielle et vectorielle. La première utilise des éléments graphiques définis point par point. À chaque pixel est associé la quantité de couleurs primaires correspondante. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul, un agrandissement de la taille de l'image possède pour conséquence un effet d'escalier.

Un dessin vectoriel est une représentation composée d'objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s'agit d'une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul mais dans laquelle l'effet d'escalier n'existe pas[37].

La représentation des données en informatique, pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d'octets. Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s'additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s'apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple des pointeurs ou des structures informatiques quelconques[38].

Notes et références

  1. Ce problème provient du Papyrus Rhind étudié par Sylvia Couchoud dans son livre Mathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d'Or, 2004 (ISBN 978-2-863-77118-1)
  2. Le texte d'Euclide est disponible en ligne sur Gallica. Une analyse est donnée dans R. Mankiewicz, L'histoire des mathématiques, Seuil, 2001 (ISBN 2-02048-3068) (cet ouvrage est généraliste et traite la période hellénistique et en particulier Euclide).
  3. (en) Joseph Needham, Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press, 1959 (ISBN 0521058015).
  4. (en) Jean-Claude Martzloff, « Chinese Mathematical Astronomy », dans H. Selin et U. D'Ambrosio, Mathematics Across Cultures, Dordrecht, 2000, p. 373-407, 10.1007/978-94-011-4301-1_18.
  5. (en) U. Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century : the Shu-shu Chiu-chang of Ch'in Chiu-shao, Cambridge, Mass., MIT Press, 1973.
  6. Les informations sur les neuf chapitres ainsi qu'une version de ce texte se trouvent dans Chemla et Guo Shuchun, Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [détail de l’édition] (ce livre contient une traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire).
  7. (en) R. Calinger, A Contextual History of Mathematics, Prentice Hall, New Jersey, 1999 (ISBN 0-02318-2857).
  8. Al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar traduit les Éléments au e siècle (cf. (en) J. L. Berggren (de), Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, Springer, 2003 (1re éd. 1986), p. 70-71 et 100).
  9. (en) K. Chemla, « Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction », Arabic Sciences and Philosophy (en), vol. 4, no 2, 1994, p. 207-266.
  10. (en) A. R. Amir-Moez, « A Paper of Omar Khayyám », Scripta Mathematica (en), vol. 26, 1963, p. 323-337.
  11. Giulio Carlo Argan et Rudolf Wittkower, Architecture et perspective chez Brunelleschi et Alberti, Verdier, 2004 (ISBN 2-86432-4210).
  12. (la) Leon Battista Alberti, De pictura, 1435.
  13. Piero della Francesca, De la Perspective en Peinture, traduction du toscan du De Prospectiva pingendi, introductions et notes. Avec une préface de Hubert Damisch et une postface de Daniel Arasse, Paris, In Medias Res, 1998.
  14. (it) Giorgio Vasari, Le Vite de più eccellenti pittori, scultori e architettori (Les Vies des meilleurs peintres, sculpteurs et architectes), 1550.
  15. (it) Galileo Galilei, Discorsi e dimonstrazioni mathematiche intorno à due nuove scienze (en), Elzevir, Leyde, 1638.
  16. René Descartes, La Dioptrique, Hollande, 1637 lire.
  17. René Descartes, La Géométrie, Hollande, 1637, lire p. 1.
  18. (la) Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, S. Pepys, Londres, 1687.
  19. (en) J. Simpson et E. Weiner, The Oxford English Dictionary: 20 Volume Set, Clarendon Press, Oxford, 1989 (ISBN 0-300-08919-8).
  20. (en) John Harris, Lexicon Technicum (en), Londres, 1704.
  21. Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, lire.
  22. Étymologie de « vecteur ».
  23. (de) Bernard Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, 1804.
  24. Jean-Victor Poncelet, Traité des Propriétés Projectives des Figures, 1822, rééd. Jacques Gabay, Paris, 1995.
  25. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, Hayez, Bruxelles, 1837.
  26. (de) August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcül : ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie, Leipzig, 1827.
  27. (it) Giusto Bellavitis, « Saggio di applicazione di un nuovo metodo di geometria analitica », Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, vol. 5, 1835, p. 244-259.
  28. (en) Thomas L. Hankins (de), Sir William Rowan Hamilton, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1980.
  29. Traduction libre de (en) William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions, 1853, Lecture 1, art. 17, p. 17.
  30. Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale par A. Turbergue.
  31. a, b et c Emil Artin, Algèbre géométrique, Calmann-Lévy, chap. II.
  32. A la place de l'appellation « composantes », certains emploient aussi « coordonnées », mais ce dernier terme empêche la différenciation entre l'unicité de la localisation des points, qui sont « fixes » dans un repère, et l'aspect « glissant » des composantes vectorielles, dû à la nature de classe d'équivalence et la multiplicité des représentants de chaque vecteur. Cf. Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions].
  33. Jean Hladik et Pierre-Emmanuel Hladik, Le calcul tensoriel en physique, 3e éd., Dunod, Paris, 1999, p. 16-17.
  34. Ces divers exemples sont essentiellement issus des programmes de mathématiques du secondaire Le B.O. no 4 2001 mathématiques hors série page 69 pour la terminale et Le B.O. Le B.O. no 2 2001 mathématiques hors série page 34 pour la seconde.
  35. Le site Mathématiques pour la Physique et la Chimie réalisé par Université en ligne propose un exposé des définitions du paragraphe.
  36. Torseur - Un cours minimal Généralisations de la notion de vecteur pour la physique, par Yannick Remion, IUT Léonard-de-Vinci de Reims, 1995.
  37. Comprendre l'image numérique: vectorielle et bitmap... sur le site Cuk, 2004.
  38. Memory as Vectors tiré de (en) H. Abelson, G. J. Sussman et J. Sussman Structure and Interpretation of Computer Programs, 2e éd., MIT Press, 1996, (ISBN Web. Il traite des aspects théoriques de la programmation et des structures vectorielles de stockage des informations).

Voir aussi

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Liens externes

Bibliographie complémentaire

Référence historique

(en) J. V. Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance, Oxford University Press, 1997 (ISBN 0198523947)

Ce texte montre comment les artistes de la Renaissance produisent des mathématiques qui non seulement révolutionnent leur métier, mais contribuent aussi aux mathématiques pures.

Ouvrages de vulgarisation

  • F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 (ISBN 2-87694-040-X)
    Ce texte est un ouvrage didactique sur les bases de la géométrie avec quelques éléments relatifs à l'histoire.
  • R. Pouzergues, Les Hexamys, IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote : IM8974 Lire
    Ce petit livre de 89 pages présente la géométrie projective. Il est disponible sur le net.
  • D. Lehmann et Rudolf Bkouche, Initiation à la géométrie, PUF, 1988, (ISBN 2130401600)
    Ce livre de géométrie commence simplement. Il couvre ensuite l'utilisation d'outils plus sophistiqués comme les formes quadratiques. Il contient un Appendice historique.

Ouvrages techniques

  • Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercices résolus, Hermann, 1997, (ISBN 270561429X)
    Ce livre s'adresse essentiellement aux élèves de la seconde à la terminale, ainsi qu'à leur professeur. Il propose des exercices sur le théorème de Thalès, la projection orthogonale, l'homothétie, la symétrie et la rotation, le calcul barycentrique, le produit scalaire, ou encore la notion d'angle.
  • Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques, Ellipses Marketing, 2002 (ISBN 2729811486)
    Ce livre traite de géométrie élémentaire au programme du CAPES. Il contient plus de 600 figures géométriques et couvre la géométrie affine euclidienne ainsi que l'algèbre linéaire élémentaire.
  • J. Perez, Mécanique physique, Masson, 2007 (ISBN 2225553416)
    Ce livre est un cours de physique a l'usage de la licence, il couvre les notions de torseur, vecteur lié, glissant et libre.
  • M. B. Karbo, Le graphisme et l'internet, Compétence micro, no 26, 2002 (ISBN 2912954959)
    Ce livre traite à la fois des aspects pratiques comme la force et la faiblesse des différentes techniques, des différents logiciels et formats disponibles sur les marchés et des aspects théoriques
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