Tétraèdre régulier

Tétraèdre régulier
Image illustrative de l’article Tétraèdre régulier

TypeSolide de Platon
Type de faces{3}
Configuration de sommet3.3.3
Faces4
Arêtes6
Sommets4
Caractéristique2

Symbole de Schläfli{3,3}
s{2,2}
Symbole de Wythoff3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter-DynkinCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Type de faces{3}
Références d'indexationU01, C15, W1
DualAuto-dual
Groupe de symétrieTd
PropriétésUniforme, convexe, deltaèdre
Figure de sommet
3.3.3
(Figure de sommet)
Dual
Auto-dual
(Dual)

En géométrie euclidienne, le tétraèdre régulier est le plus simple des cinq solides de Platon. Comme tout tétraèdre, il a 4 faces triangulaires, 6 arêtes et 4 sommets. Puisqu'il est de plus régulier, ses faces sont équilatérales.

Comme il a trois sommets par face, et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

Grandeurs caractéristiques

Si a est la longueur d'une arête :

  • l'aire du tétraèdre régulier est égale à :  ;
  • sa hauteur est égale à :  ;
  • son centre est situé, par rapport à la base, à :  ;
  • son volume est égal à :  ;
  • la valeur de l'angle central du tétraèdre régulier (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) est de arccos(–1/3) (approx. 109,471°);
  • son angle solide vaut .
  • son angle dièdre vaut

Isométries

Le groupe des isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier est isomorphe au groupe symétrique S4 (voir le § sur la représentation standard de S4 de l'article sur les représentations des groupes symétriques).

Le sous-groupe de ses isométries positives est isomorphe au groupe alterné A4 (voir le § « Groupe des rotations du tétraèdre » de l'article sur les groupes alternés).

Autres propriétés

Autodualité du tétraèdre régulier.

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un nouveau tétraèdre régulier.

Il possède une coupe carrée.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise la molécule de méthane.

Les Grecs l'associaient à l'élément naturel du feu.

Voir aussi

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