Solide de Johnson

La gyrobicoupole octogonale allongée (J37), un solide de Johnson.
Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro).
Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il est concave.

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas un solide de Platon, un solide d'Archimède, un prisme ou un antiprisme. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller (en) a démontré en 1969 que la liste de Johnson était complète.On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

  • Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
  • Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
  • Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
  • Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
  • Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
  • Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F3 triangles,
F4 carrés,
F5 pentagones,
F6 hexagones,
F8 octogones,
F10 décagones.

Prismatoïdes et rotondes

JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
1pyramide carréeSquare pyramid.pngpyramide585410000C4v
2pyramide pentagonalePentagonal pyramid.pngpyramide6106501000C5v
3coupole hexagonaleTriangular cupola.pngcoupole9158430100C3v
4coupole octogonaleSquare cupola.pngcoupole122010450010C4v
5coupole décagonalePentagonal cupola.pngcoupole152512551001C5v
6rotonde décagonalePentagonal rotunda.pngrotonde2035171006001C5v

Pyramides modifiées et dipyramides

JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
7pyramide triangulaire allongéeElongated triangular pyramid.pngpyramide allongée (en)7127430000C3v
8pyramide carrée allongéeElongated square pyramid.pngpyramide allongée9169450000C4v
9pyramide pentagonale allongéeElongated pentagonal pyramid.pngpyramide allongée112011551000C5v
10pyramide carrée gyroallongéeGyroelongated square pyramid.pngpyramide gyroallongée (en)920131210000C4v
11pyramide pentagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal pyramid.pngpyramide gyroallongée1125161501000C5v
12diamant triangulaireTriangular dipyramid.pngBipyramide (ou diamant)596600000D3h
13diamant pentagonalPentagonal dipyramid.pngBipyramide (ou diamant)715101000000D5h
14diamant triangulaire allongéElongated triangular dipyramid.pngBipyramide allongée (ou diamant allongé)8159630000D3h
15diamant carré allongéElongated square dipyramid.pngBipyramide allongée (ou diamant allongé)102012840000D4h
16diamant pentagonal allongéElongated pentagonal dipyramid.pngBipyramide allongée (ou diamant allongé)1225151050000D5h
17diamant carré gyroallongéGyroelongated square dipyramid.pngBipyramide allongée (ou diamant allongé)1024161600000D4d

Coupoles et rotondes modifiées

  • coupole allongée
  • rotonde allongée
  • birotonde allongée
  • coupole-rotonde allongée
  • bicoupole allongée
  • coupole gyroallongée
  • rotonde gyroallongée
  • bicoupole
  • birotonde
  • coupole-rotonde
  • bicoupole gyroallongée
  • birotonde gyroallongée
  • coupole-rotonde gyroallongée
JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
18coupole hexagonale allongéeElongated triangular cupola.pngcoupole allongée152714490100C3v
19coupole octogonale allongéeElongated square cupola.pngcoupole allongée2036184130010C4v
20coupole décagonale allongéeElongated pentagonal cupola.pngcoupole allongée2545225151001C5v
21rotonde décagonale allongéeElongated pentagonal rotunda.pngrotonde allongée30552710106001C5v
22coupole hexagonale gyroallongéeGyroelongated triangular cupola.pngcoupole gyroallongée1533201630100C3v
23coupole octogonale gyroallongéeGyroelongated square cupola.pngcoupole gyroallongée2044262050010C4v
24coupole décagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal cupola.pngcoupole gyroallongée2555322551001C5v
25rotonde décagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal rotunda.pngrotonde gyroallongée3065373006001C5v
26gyrobiprisme triangulaireGyrobifastigium.pngbicoupole8148440000D2d
27orthobicoupole hexagonaleTriangular orthobicupola.pngbicoupole122414860000D3h
28orthobicoupole octogonaleSquare orthobicupola.pngbicoupole1632188100000D4h
29gyrobicoupole octogonaleSquare gyrobicupola.pngbicoupole1632188100000D4d
30orthobicoupole décagonalePentagonal orthobicupola.pngbicoupole20402210102000D5h
31gyrobicoupole décagonalePentagonal gyrobicupola.pngbicoupole20402210102000D5d
32orthocoupole-rotonde décagonalePentagonal gyrocupolarotunda.pngcoupole-rotonde2550271557000C5v
33gyrocoupole-rotonde décagonalePentagonal orthocupolarotunda.pngcoupole-rotonde2550271557000C5v
34orthobirotonde décagonalePentagonal orthobirotunda.pngbirotonde30603220012000C5v
35orthobicoupole hexagonale allongéeElongated triangular orthobicupola.pngbicoupole allongée1836208120000D3h
36gyrobicoupole hexagonale allongéeElongated triangular gyrobicupola.pngbicoupole allongée1836208120000D3d
37gyrobicoupole octogonale allongéeElongated square gyrobicupola.pngbicoupole allongée2448268180000D4h
38orthobicoupole décagonale allongéeElongated pentagonal orthobicupola.pngbicoupole allongée30603210202000D5h
39gyrobicoupole décagonale allongéeElongated pentagonal gyrobicupola.pngbicoupole allongée30603210202000D5v
40orthocoupole-rotonde décagonale allongéeElongated pentagonal orthocupolarotunda.pngcoupole-rotonde allongée35703715157000C5v
41gyrocoupole-rotonde décagonale allongéeElongated pentagonal gyrocupolarotunda.pngcoupole-rotonde allongée35703715157000C5v
42orthobirotonde décagonale allongéeElongated pentagonal orthobirotunda.pngbirotonde allongée408042201012000D5h
43gyrobirotonde décagonale allongéeElongated pentagonal gyrobirotunda.pngbirotonde allongée408042201012000D5v
44bicoupole hexagonale gyroallongéeGyroelongated triangular bicupola.pngbicoupole gyroallongée1842262060000D3v
45bicoupole octogonale gyroallongéeGyroelongated square bicupola.pngbicoupole gyroallongée24563424100000D4v
46bicoupole décagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal bicupola.pngbicoupole gyroallongée30704230102000D5v
47coupole-rotonde décagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal cupolarotunda.pngcoupole-rotonde gyroallongée3580473557000C5v
48birotonde décagonale gyroallongéeGyroelongated pentagonal birotunda.pngbirotonde gyroallongée40905240012000C5v

Prismes augmentés

JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
49prisme triangulaire augmentéAugmented triangular prism.pngprisme augmenté7138620000C2v
50prisme triangulaire biaugmentéBiaugmented triangular prism.pngprisme augmenté817111010000C2v
51prisme triangulaire triaugmentéTriaugmented triangular prism.pngprisme augmenté921141400000D3h
52prisme pentagonal augmentéAugmented pentagonal prism.pngprisme augmenté111910442000C2v
53prisme pentagonal biaugmentéBiaugmented pentagonal prism.pngprisme augmenté122313832000Cs
54prisme hexagonal augmentéAugmented hexagonal prism.pngprisme augmenté132211450200C2h
55prisme hexagonal parabiaugmentéParabiaugmented hexagonal prism.pngprisme augmenté142614840200D2h
56prisme hexagonal métabiaugmentéMetabiaugmented hexagonal prism.pngprisme augmenté142614840200C2v
57prisme hexagonal triaugmentéTriaugmented hexagonal prism.pngprisme augmenté1530171230200D3h

Solides de Platon modifiés

  • Dodécaèdres augmentés
  • Icosaèdres diminués
JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
58dodécaèdre augmentéAugmented dodecahedron.pngdodécaèdre augmenté2135165011000C5v
59dodécaèdre parabiaugmentéParabiaugmented dodecahedron.pngdodécaèdre augmenté22402010010000D5v
60dodécaèdre métabiaugmentéMetabiaugmented dodecahedron.pngdodécaèdre augmenté22402010010000C2v
61dodécaèdre triaugmentéTriaugmented dodecahedron.pngdodécaèdre augmenté2345241509000C3v
62icosaèdre métabidiminuéMetabidiminished icosahedron.pngicosaèdre diminué1020121002000C2v
63icosaèdre tridiminuéTridiminished icosahedron.pngicosaèdre diminué9158503000C3v
64icosaèdre tridiminué augmentéAugmented tridiminished icosahedron.pngicosaèdre diminué101810703000C3v

Solides d'Archimède modifiés

JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
65tétraèdre tronqué augmentéAugmented truncated tetrahedron.pngtétraèdre tronqué augmenté152714830300C3v
66cube tronqué augmentéAugmented truncated cube.pngcube tronqué augmenté2848221250050C4v
67cube tronqué biaugmentéBiaugmented truncated cube.pngcube tronqué augmenté32603016100040D4h
68dodécaèdre tronqué augmentéAugmented truncated dodecahedron.pngdodécaèdre tronqué augmenté651054225510011C5v
69dodécaèdre tronqué parabiaugmentéParabiaugmented truncated dodecahedron.pngdodécaèdre tronqué augmenté7012052301020010D5v
70dodécaèdre tronqué métabiaugmentéMetabiaugmented truncated dodecahedron.pngdodécaèdre tronqué augmenté7012052301020010C2v
71dodécaèdre tronqué triaugmentéTriaugmented truncated dodecahedron.pngdodécaèdre tronqué augmenté751356235153009C3v
72gyro-rhombicosidodécaèdreGyrate rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre gyré6012062203012000C5v
73parabigyro-rhombicosidodécaèdreParabigyrate rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre gyré6012062203012000D5v
74métabigyro-rhombicosidodécaèdreMetabigyrate rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre gyré6012062203012000C2v
75trigyro-rhombicosidodécaèdreTrigyrate rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre gyré6012062203012000C3v
76rhombicosidodécaèdre diminuéDiminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué5510552152511001C5v
77rhombicosidodécaèdre paragyrodiminuéParagyrate diminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué5510552152511001C5v
78rhombicosidodécaèdre métagyrodiminuéMetagyrate diminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué5510552152511001Cs
79rhombicosidodécaèdre bigyrodiminuéBigyrate diminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué5510552152511001Cs
80rhombicosidodécaèdre parabidiminuéParabidiminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué509042102010002D5v
81rhombicosidodécaèdre métabidiminuéMetabidiminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué509042102010002C2v
82rhombicosidodécaèdre gyrobidiminuéGyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué509042102010002Cs
83rhombicosidodécaèdre tridiminuéTridiminished rhombicosidodecahedron.pngrhombicosidodécaèdre diminué4575325159003C3v

Divers

JnNom du solideImageTypeSAFF3F4F5F6F8F10Symétrie
84Disphénoïde adouciSnub disphenoid.png-818121200000D2v
85antiprisme carré adouciSnub square antiprism.png-1640262420000D4v
86sphéno-couronneSphenocorona.png-1022141220000C2v
87sphéno-couronne augmentéeAugmented sphenocorona.png-1126171610000Cs
88sphénoméga-couronneSphenomegacorona.png-1228181620000C2v
89hébesphénoméga-couronneHebesphenomegacorona.png-1433211830000C2v
90disphéno-ceintureDisphenocingulum.png-1638242040000D2v
91birotonde bilunaireBilunabirotunda.png-142614820000D2h
92hébesphéno-rotonde triangulaireTriangular hebesphenorotunda.png-1836201333100C3v

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en voir la liste des auteurs).
  • (en) Norman W. Johnson, « Convex Solids with Regular Faces », Canad. J. Math., vol. 18,‎ , p. 169–200 (10.4153/CJM-1966-021-8) — Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
  • (en) Victor A. Zalgaller, « Convex Polyhedra with Regular Faces », 1969 : première preuve de cette conjecture.
  • (en) Johnson Solid », MathWorld

Liens externes