Solide d'Archimède

En géométrie, un solide d'Archimède est un polyèdre convexe semi-régulier, fortement symétrique, composé d'au moins deux sortes de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des solides de Platon, qui sont composés d'une seule sorte de polygones se rencontrant à des sommets identiques, et des solides de Johnson, dont les faces polygonales régulières ne se rencontrent pas à des sommets identiques. La symétrie des solides d'Archimède exclut les membres du groupe diédral, les prismes et les antiprismes.

Les solides d'Archimède peuvent tous être construits via les constructions de Wythoff à partir des solides de Platon avec les symétries tétraédrique (en), octaédrique et icosaédrique. Voir polyèdre uniforme convexe.

Origine du nom

Les solides d'Archimède tirent leurs noms du mathématicien grec Archimède, qui les étudia dans un ouvrage actuellement perdu. Pendant la Renaissance, les artistes et les mathématiciens ont évalué les formes pures et ont redécouvert toutes ces formes. Cette recherche fut complétée aux alentours de 1619 par Johannes Kepler, qui définit les prismes, les antiprismes et les solides réguliers non-convexes connus sous le nom de solides de Kepler-Poinsot.

Classification

Il existe 13 solides d'Archimède (15 si l'on compte l'image chirale (dans un miroir) de deux solides énantiomorphes, décrits plus précisément ci-dessous). Dans cette table, la configuration de sommet fait référence au type de polygones réguliers que l'on rencontre à un sommet donné quelconque (symbole de Schläfli). Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent à un sommet (avec l'ordre pris dans le sens horaire autour du sommet). Un quatorzième solide, la gyrobicoupole octogonale allongée, répond « presque » à la définition, en ce que tous ses sommets ont la même configuration de sommet, mais il n'est pas semi-régulier. Enfin, les familles infinies des prismes et des antiprismes ne sont généralement pas comptées comme solides d'Archimède, leur groupe de symétrie se réduisant à un groupe diédral.

Le nombre de sommets est 720° divisé par le défaut angulaire (en) au sommet[1].

NomSolideFacesArêtesSommetsnombre
d'arêtes
par sommet
Configuration
de sommet
Groupe
de symétrie
Graphe squelette
Tétraèdre tronquéTétraèdre tronqué8triangles
hexagones
181233,6,6TdGraphe tétraédrique tronqué
Cube tronqué
ou hexaèdre tronqué
Cube tronqué148 triangles
octogones
362433,8,8OhGraphe hexaédrique tronqué
Octaèdre tronquéOctaèdre tronqué146 carrés
8 hexagones
362434,6,6OhGraphe octaédrique tronqué
Dodécaèdre tronquéDodécaèdre tronqué3220 triangles
12 décagones
906033,10,10IhGraphe dodécaédrique tronqué
Icosaèdre tronqué
ou Buckyball
ou ballon de foot
Icosaèdre tronqué3212 pentagones
20 hexagones
906035,6,6IhGraphe icosaédrique tronqué
CuboctaèdreCuboctaèdre 14 triangles
carrés
241243,4,3,4OhGraphe cuboctaédrique
Cube adouci
(2 formes chirales)
Cube adouci (Sah)
Cube adouci (Sh)
3832 triangles
6 carrés
602453,3,3,3,4OGraphe cuboctaédrique adouci
IcosidodécaèdreIcosidodécaèdre3220 triangles
12 pentagones
603043,5,3,5IhGraphe icosidodécaédrique
Dodécaèdre adouci
(2 formes chirales)
Dodécaèdre adouci (Sah)
Dodécaèdre adouci (Sh)
9280 triangles
12 pentagones
1506053,3,3,3,5IGraphe dodécaédrique adouci
Petit rhombicuboctaèdre
Petit rhombicuboctaèdre268 triangles
18 carrés
482443,4,4,4OhGraphe rhombicuboctaédrique
Cuboctaèdre tronqué
Grand rhombicuboctaèdre2612 carrés
8 hexagones
6 octogones
724834,6,8OhGraphe cuboctaédrique tronqué
Petit rhombicosidodécaèdre
ou rhombicosidodécaèdre
Rhombicosidodécaèdre6220 triangles
30 carrés
12 pentagones
1206043,4,5,4IhGraphe icosidodécaédrique
tronqué
Icosidodécaèdre tronqué
Icosidodécaèdre tronqué6230 carrés
20 hexagones
12 décagones
18012034,6,10IhGraphe rhombicosidodécaédrique

Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre ont des arêtes uniformes et ont été appelés quasi-réguliers.

Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont chiraux, ils sont de deux formes, (lévomorphe et dextromorphe). Lorsqu'un objet possède plusieurs formes qui sont images miroir les unes des autres en trois dimensions, ces formes sont appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est aussi utilisée pour les formes de composés chimiques, voir énantiomère).

Les duaux des solides d'Archimède sont appelés les solides de Catalan. Avec les bipyramides et les trapèzoèdres, ce sont les solides à faces uniformes et sommets réguliers.

Notes et références

Annexes

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes