Produit direct (groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes.

Produit direct de deux groupes

Soient

Projecteur

Une approche, un peu analogue à celle des espaces vectoriel, donne une équivalence entre un produit direct et un morphisme particulier appelé projecteur.Soit G un groupe, H1 et H2 deux sous-groupes de G tel que l'application φ du paragraphe précédent soit un isomorphisme. Alors tout élément g de G s'écrit de manière unique h1*h2hi est élément de Hi. Soit p l'application de G dans G qui à g associe h1. Elle bénéficie des propriétés suivantes :

  • La fonction p est un morphisme de groupes, tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

Ici o désigne la composition des fonctions.

L'analogie avec les espaces vectoriels donne lieu à la définition suivante :

  • Un projecteur p de G est un morphisme de G dans G tel que tout élément de son image commute avec tout élément de son noyau et pop est égal à p.

La donnée d'un projecteur permet une décomposition de G en produit direct :

  • Soit p un projecteur de G, alors G est isomorphe au produit direct de l'image de p et du noyau de p.

Dans le cas où G est abélien, tout morphisme dont le carré est égal à lui-même est un projecteur, en effet tout élément du groupe commute avec tout élément du groupe.

Cette propriété peut se reformuler de la manière suivante. Toute suite exacte :

telle que G est abélien, et qu'il existe une section G/H dans G qui se factorise en un produit direct .

Groupe abélien

Article détaillé : Groupe abélien.

Le cas général ne peut être traité, il est trop vaste, il est donc nécessaire d'apporter des hypothèses supplémentaires. Ces hypothèses correspondent essentiellement à trois cas, traités ici.

Groupe abélien fini

Article détaillé : Théorème de Kronecker.

Le cas le plus simple est celui ou le groupe G est fini. Un premier exemple est donné par les groupes cycliques, ils suffisent pour générer, à l'aide du produit direct tous les groupes abéliens finis.

  • Il existe une suite d'entiers strictement positifs (a1,a2,...,ak) tel que G est isomorphe au produit direct des groupes cycliques de cardinal les différents éléments de la suite.

Ce qui s'écrit de la manière suivante :

Groupe abélien de type fini

Article détaillé : Groupe abélien de type fini.

Le deuxième cas est d'une nature proche du cas précédent. Il correspond aux groupes contenant une partie génératrice finie. Il existe ainsi au moins un groupe qui n'est pas élément de l'ensemble précédent, celui des entiers Z. On démontre (dans l'article associé) qu'il est l'unique générateur à ajouter pour obtenir tous les groupes abéliens de type fini.

  • Pour tout groupe abélien G de type fini, il existe un entier n et un groupe fini F tel que G est isomorphe au produit direct de F et de Zn.

Groupe de Lie commutatif

Article détaillé : Groupe de Lie commutatif.

Les deux catégories précédentes sont dénombrables. Il existe pourtant des groupes importants qui ne le sont pas, on peut citer par exemple le cas des isométries linéaires du plan utilisé précédemment. Il est alors nécessaire d'adjoindre trois hypothèses : le groupe dispose d'une structure de variété différentielle compatible avec le groupe (on parle de groupe de Lie), l'espace tangent est de dimension finie et le nombre de composantes connexes du groupe est fini. La propriété suivante est alors vérifiée :

  • Tout groupe de Lie de dimension finie et ayant un nombre fini de composantes connexes est isomorphe à un produit direct d'un groupe fini, d'un espace vectoriel de dimension finie et d'un tore maximal.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

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Références

  • Lang, Algèbre [détail des éditions]
  • J. F. Labarre, La Théorie des groupes, Presses Universitaires de France, 1978
  • G. Pichon, Groupes de Lie, représentations linéaires et applications, Hermann , 1973

Notes et références

  1. Algèbre, ch. 1, § 4, déf. 12, p. 43.
  2. (en) An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., p. 308.
  3. (en) Abstract Algebra, Wiley, 2004, p. 157.
  4. (en) The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 27.
  5. Ouvr. cité, p. 28.
  6. (en) Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 14-15 (exemples 11 et 12).
  7. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 4, Paris, 1970, p. I.45-46, dit « somme restreinte » dans le cas général et ne dit « somme directe » que si les groupes sont commutatifs. Jean Delcourt, Théorie des groupes, 2e édition, Paris, 2012, p. 28, n'emploie que « somme directe », même si les groupes ne sont pas abéliens.
  8. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, vol. 1, Paris, , p. I.45, emploie une autre notation. La notation utilisée dans le présent article est proche de celle de W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 15.
  9. Voir N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I.45, prop. 12.
  10. Voir S. Lang, Algèbre, Paris, Dunod, 2004, pp. 39 et 137.
  11. S. Lang, Algèbre, 3e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 74.
  12. a et b Voir par exemple (en) Hans Kurzweil (de) et lire en ligne), p. 28.
  13. Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I, 46.
  14. Voir une forme de cette relation générale dans W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, exerc. 4.2.8, p. 71.