Polynôme formel

En algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aXn), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X]. Les règles de notation de l'addition et de la multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi X + X est noté 2.X, ou encore X.X est noté X2. Des exemples de polynômes formels sont :

L'ensemble A, utilisé pour bâtir la structure A[X], peut être composé de nombres, mais ce n'est pas indispensable. On lui demande seulement de supporter deux opérations : l'addition et la multiplication. Si ces deux opérations possèdent certaines propriétés comme l'associativité, la commutativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition, on dit que A est un anneau commutatif. On lui demande souvent de posséder un élément neutre pour la multiplication. Seul ce cas est traité dans cet article.

Parfois, A possède des propriétés encore plus fortes, comme d'être un corps commutatif, ce qui signifie que tout élément différent de 0 est inversible pour la multiplication, à l'image des rationnels ou des réels. Dans ce cas, en plus de l'addition et de la multiplication, la structure A[X] possède une division euclidienne, à l'image de l'anneau des entiers et il devient possible d'utiliser les techniques de l'arithmétique élémentaire pour travailler sur les polynômes formels. L'identité de Bézout s'applique, comme le lemme d'Euclide ou le théorème fondamental de l'arithmétique. Il existe un équivalent des nombres premiers constitué par les polynômes unitaires irréductibles. Quelle que soit la nature de l'anneau commutatif et unitaire A, la structure A[X] possède au moins les caractéristiques d'un anneau commutatif. On parle d'anneau des polynômes formels.

Le polynôme formel est un des outils à la base de l'algèbre. Initialement, il était utilisé pour résoudre des équations dites algébriques. Résoudre l'équation algébrique revient à répondre à la question : par quelle valeur doit-on remplacer X pour que l'expression obtenue soit égale à 0 ? Une solution est appelée racine du polynôme. Le polynôme formel est maintenant utilisé dans de vastes théories comme la théorie de Galois ou la géométrie algébrique et qui dépassent le cadre de la théorie des équations.

De même que l'anneau A peut être étendu à une structure plus vaste A[X], l'anneau des polynômes à une indéterminée peut encore être étendu, soit par un anneau à plusieurs indéterminées, soit par le corps des fractions rationnelles, soit par l'anneau des séries formelles.

Dans toute la suite de l'article, A désigne un anneau intègre, K un corps commutatif, ℤ l'anneau des nombres entiers, ℝ le corps des nombres réels et ℂ celui des nombres complexes.

Préambule

Approche intuitive

Une manière simple de concevoir un polynôme formel est d'ajouter une lettre X, à un ensemble de nombres comme ℤ ou ℝ. Cette lettre ne possède aucune relation algébrique avec les nombres, les seules choses que l'on peut écrire sont des égalités comme X + X = 2.X, ou encore X.X = X2. Sur l'ensemble obtenu, on souhaite que l'addition et la multiplication disposent des mêmes propriétés que celles qu'elles avaient dans l'ensemble de nombres et qui sont formalisées sous le nom d'anneau. Les identités remarquables sont toujours vérifiées, ainsi, si a désigne un nombre quelconque :

Un polynôme formel est une expression comportant un nombre fini de termes, tous composés de la même manière, le produit d'un nombre et d'une puissance de X. Un tel terme est appelé un monôme, le nombre le coefficient du monôme et la puissance de X le degré du monôme. Le polynôme 5X2 + 3X + 4, contient un monôme de degré 2 et de coefficient 5. Dans le cas général, un polynôme formel P quelconque prend la forme suivante, si ai désigne un nombre et i est un entier variant de 0 à n :

Ce qui permet de retrouver aisément les formules donnant les racines de l'équation en fonction des coefficients, sachant que l'opposé de la somme des racines est égal à b. Si n est strictement plus grand que 2, le discriminant n'offre pas de moyen simple d'exprimer les racines[30].

Notes et références

Notes

  1. L. Radford, « Diophante et l'algèbre pré-symbolique », Bulletin AMQ,‎ (lire en ligne).
  2. P. ver Eecke, Diophante d'Alexandrie : Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Liège, Desclée de Brouwer, , p. 3.
  3. Voir à ce sujet ver Eecke 1926, p. 3.
  4. Roshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, Paris, Les Belles Lettres, 1984.
  5. Hélène Bellosta indique : « Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (XIIe siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de ces points d’intersection, dont l’abscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines, l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner. » : H. Bellosta, « À propos de l'histoire des sciences arabes », Gazette de la SMF, vol. 82,‎ , Gazette de la SMF, vol. 82,‎ , lire en ligne) (p. 40).
  6. (en) F. Cajori, A History of Mathematics, New York, Macmillan, 1919 (2e éd.), p. 139.
  7. Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801 (page 434 dans l'édition de 1807 traduite en français par Poullet-Delisle et publié aux éditions Jacques Gabay en 1989 (ISBN 2876470543)
  8. lire en ligne), p. 22.
  9. Même les textes très élémentaires présentent l'indéterminée comme un élément d'une structure d'algèbre et non plus comme une lettre : cf. lien externe Sarlat 2001.
  10. Dans l'enseignement supérieur, l'indéterminée est définie comme le polynôme X, construit comme une suite : lien externe Cours de MPSI.
  11. Le lien externe Cours de classe préparatoire note l'indéterminée x et la définit comme la suite (0,1,0,...).
  12. Les cours universitaires suivent la même convention ; l'indéterminée est un objet défini comme un polynôme particulier : lien externe GUIP 2003.
  13. Cette idée est appliquée au cas de plusieurs indéterminées. L'indéterminée est encore définie à partir d'une généralisation de la suite précédente : Algèbre commutative », , p. 18.
  14. Les livres d'algèbre suivent largement cette convention : Michel Queysanne, Algèbre, Armand Colin, coll. « U », 1964, p. 413.
  15. Une présentation d'un niveau de premier cycle universitaire : J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : Algèbre, Dunod, 2003 (ISBN 2100081977), p. 139 (dans l'édition consultée de 1971).
  16. Une autre technique est possible ; elle correspond à une définition axiomatique, un peu à l'image de celle de Chevalley. C'est celle proposée par Patrick Polo, « Algèbres, polynômes, algèbres de type fini », sur IMJ, .
  17. a et b N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre, chapitres 4 à 7, Dunod, 1981 (ISBN chap. 4.
  18. Cette citation est extraite du lien externe Cours de MPSI.
  19. Cette propriété est explicitée dans le lien externe GUIP 2003.
  20. Ces définitions proviennent du Cours de classe préparatoire en lien externe ; elles sont justifiées par les formules sur la somme et le produit données plus bas.
  21. Cet exemple est tiré du site de M. Delord (membre du Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes.
  22. Cette présentation s'inspire du lien externe Sarlat 2001.
  23. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, [détail des éditions][réf. incomplète].
  24. Lien externe Cours de classe préparatoire.
  25. « Polynômes », sur MSN Encarta, .
  26. Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], p. 146.
  27. Pour l'étude des polynômes formels, l'application Φ est parfois utile. Quand les coefficients sont choisis dans un corps fini Fp, on a parfois besoin de connaître l'ensemble des fonctions polynomiales et comment construire un polynôme prenant des valeurs précises. Cette question apparait par exemple pour la construction d'un code correcteur et particulièrement d'un Cours de code », sur Université Bordeaux I, [réf. incomplète].
  28. a et b D. J. Mercier L'épreuve d'exposé au CAPES mathématiques, vol. II Sciences Mathématiques, 2006 (ISBN 2748330013), p. 300.
  29. A. Kraus, « Théorie de Galois — Cours accéléré de DEA », sur IMJ, Université de Paris VI, , Proposition 2.2, p. 12.
  30. Voir à ce sujet Lang, Algèbre [détail des éditions], chap IV, § 8.

Liens externes

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