Espace affine
English: Affine space

Article général Pour un article plus général, voir Géométrie affine.

En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel). Un espace affine peut aussi être vu comme un espace vectoriel « dont on a oublié l'origine »[1]. Ainsi les translations de vecteur non nul sont des transformations affines (c'est-à-dire qu'elles conservent la structure d'espace affine), mais pas vectorielles. Les homothéties (de centre un point quelconque de l'espace), mais aussi par exemple les transvections ou les dilatations sont des applications affines.

Définitions et premières propriétés

Il est possible d'axiomatiser les espaces affines directement, en termes de points, de droites et de la relation d'incidence (appartenance) d'un point à une droite[2], cependant les définitions les plus usuelles d'espace affine s'appuient sur celle d'espace vectoriel sur un corps, qui est le corps des nombres réels pour la géométrie affine « classique ». Les éléments de l'espace affine sont appelés points, ceux de l'espace vectoriel associé vecteurs, et ceux du corps associé scalaires. Une opération fondamentale des espaces affines associe à deux points A et B un vecteur noté . Dans ce contexte les couples de points sont souvent appelés bipoints, un bipoint (A,B) a pour origine A, pour extrémité B et définit donc un vecteur . Une autre opération fondamentale associe à un point A et un vecteur un autre point, appelé translaté de A par , et souvent noté A + (notation de Grassmann). Ces opérations sont liées, en effet B est le translaté de A par le vecteur défini par le bipoint (A, B), en fait on aura :

B = A +   si et seulement si   ,

c'est-à-dire que chacune de ces deux opérations peut se définir en fonction de l'autre.

La définition qui suit s'appuie sur la première de ces deux opérations. Une définition équivalente, qui s'appuie sur la seconde, est donnée en fin de section.

Première définition

Étant donné un espace vectoriel V sur un corps K, un espace affine de direction V est un ensemble non vide[3] E muni d'une application φ qui à chaque bipoint (A, B) de E2, associe un élément de V, noté vérifiant les deux propriétés suivantes[4] :

(A1)  ;   (relation de Chasles)
(A2) .   (existence et unicité d'un translaté)

L'espace vectoriel est appelé direction de l'espace affine E. La direction de E est parfois notée [5] . La dimension d'un espace affine est la dimension de l'espace vectoriel qui lui est associé. En particulier un espace affine de dimension 1 est appelé droite affine, un espace affine de dimension 2 plan affine.

La propriété (A2) assure, pour tout point A et tout vecteur , l'existence et l'unicité d'un point B vérifiant , que l'on nomme, comme indiqué en introduction, translaté de A par . La propriété annoncée en introduction suit de cette définition. Étant donné un vecteur de V, l'application qui à un point A de E associe son translaté par le vecteur est appelée translation de vecteur .

Si on fixe un point origine O, par définition d'un espace affine, il existe une application φO de E dans V qui à un point M de E associe le vecteur . La propriété (A2) énonce que cette application φO est bijective pour tout point O. Cette correspondance permet donc, par choix d'une origine, de munir (de façon non canonique) l'espace affine E d'une structure d'espace vectoriel isomorphe à V, dite structure vectorielle d'origine O, et que l'on note EO. L'étude des problèmes de géométrie affine se ramène souvent à une étude en géométrie vectorielle, par choix convenable d'une origine de l'espace affine[6].

Inversement, tout espace vectoriel V est canoniquement muni d'une structure d'espace affine de direction V par :

C'est, à isomorphisme près, le seul espace affine de direction isomorphe à V.

Il arrive d'ailleurs[7] que ce que l'on a noté dans un espace affine soit noté BA, et quand cet espace affine est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, les notations sont cohérentes, de même qu'avec la notation de Grassmann, qui donne B = A + (BA).

Propriétés élémentaires

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d'espace affine (c'est-à-dire des axiomes (A1) et (A2)).Soient des points quelconques d'un espace affine E :

  •  ;
  • .

On peut également généraliser la relation de Chasles à un nombre fini de points