Ellipsoïde de révolution

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ProlateSpheroid.pngOblateSpheroid.PNG
Ellipsoïdes, allongé (oblong ou prolate), et aplati (oblate).

En mathématiques, un ellipsoïde de révolution ou sphéroïde est une surface de révolution obtenue par rotation dans l'espace d'une ellipse autour de l'un de ses axes. Comme tout ellipsoïde, il s'agit d'une surface quadrique, c'est-à-dire qu'elle est décrite par une équation de degré 2 en chaque coordonnée dans un repère cartésien.

L'expression peut aussi parfois désigner le volume borné délimité par cette surface, notamment pour décrire des objets physiques tels que la Terre ou des noyaux atomiques.

Un ellipsoïde de révolution peut être :

  • allongé (ou oblong, en anglais : prolate) si l'axe de rotation est l'axe principal (le grand axe), ce qui lui donne une forme de ballon de rugby ;
  • aplati (en anglais : oblate) dans le cas contraire (comme la surface de la Terre, approximativement) ;
  • sphérique, dans le cas particulier où l'ellipse génératrice est un cercle.

Propriétés

Paramétrisation

Dans un plan de coupe contenant l'axe de rotation, la trace de l'ellipsoïde est une ellipse paramétrée en coordonnées cylindriques par un angle au centre θ variant entre 0 et sous la forme :

Applications

Plusieurs exemples d'ellipsoïdes de révolution apparaissent en physique. Par exemple, une masse fluide soumise à sa propre attraction gravitationnelle et en rotation sur elle-même forme un ellipsoïde aplati. Un autre exemple est donné par la déformation de la Terre et surtout du niveau des océans en un ellipsoïde allongé sous l'action d'un champ gravitationnel extérieur, donnant lieu au phénomène des marées.

Notes et références

  1. La variable e, généralement utilisée pour représenter une excentricité, n'a aucun rapport avec la e des exponentielles.

Bibliographie

  • (en) S. Chandrasekhar, « Ellipsoidal figures of equilibrium: an historical account », Comm. Pure Appl. Math., vol. 20,‎ , p. 251-265 (lire en ligne)
  • (en) S. Chandrasekhar, « The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids », Astrophys. J., vol. 141,‎ , Astrophys. J., vol. 141,‎ , lire en ligne)