Dual d'un polyèdre

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En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que

  • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
  • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers, en reliant les centres de faces adjacentes. Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite (en).

On peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits.

Le tétraèdre est son propre dual

Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre régulier donne l'icosaèdre, le tétraèdre est son propre dual.
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.
Les duaux des solides archimédiens sont les solides de Catalan.
Les duaux des prismes sont des diamants (ou bipyramides), ceux des antiprismes des antidiamants.


solidedual
tétraèdreTetrahedron.svgtétraèdreTetrahedron.svg
cubeHexahedron.svgoctaèdreOctahedron.svg
octaèdreOctahedron.svgcubeHexahedron.svg
icosaèdreIcosahedron.svgdodécaèdre régulierDodecahedron.svg
dodécaèdre régulierDodecahedron.svgicosaèdreIcosahedron.svg
petit dodécaèdre étoiléSmallStellatedDodecahedron.jpggrand dodécaèdreGreatDodecahedron.jpg
grand dodécaèdre étoiléGreatStellatedDodecahedron.jpggrand icosaèdreGreatIcosahedron.jpg
tétraèdre tronquéTruncatedtetrahedron.jpgtriakitétraèdreTriakistetrahedron.jpg
cube tronquéTruncatedhexahedron.jpgtriakioctaèdreTriakisoctahedron.jpg
octaèdre tronquéTruncatedoctahedron.jpgtétrakihexaèdreTetrakishexahedron.jpg
cuboctaèdreCuboctahedron.svgdodécaèdre rhombiqueRhombicdodecahedron.jpg
petit rhombicuboctaèdreRhombicuboctahedron.jpgicositétraèdre trapézoïdalDeltoidalicositetrahedron.jpg
grand rhombicuboctaèdreTruncatedicosidodecahedron.jpghexakioctaèdreDisdyakistriacontahedron.jpg
cube adouciSnubhexahedroncw.jpgicositétraèdre pentagonalPentagonalicositetrahedroncw.jpg
dodécaèdre tronquéTruncateddodecahedron.jpgtriaki-icosaèdreTriakisicosahedron.jpg
icosaèdre tronquéTruncatedicosahedron.jpgpentakidodécaèdrePentakisdodecahedron.jpg
icosidodécaèdreIcosidodecahedron.jpgtriacontaèdre rhombiqueRhombictriacontahedron.jpg
petit rhombicosidodécaèdreRhombicosidodecahedron.jpghexacontaèdre trapézoïdalDeltoidalhexecontahedron.jpg
grand rhombicosidodécaèdreTruncatedicosidodecahedron.jpghexaki icosaèdreDisdyakistriacontahedron.jpg
dodécaèdre adouciSnubdodecahedronccw.jpghexacontaèdre pentagonalPentagonalhexecontahedroncw.jpg


géode par triangulationGeode10.pnggéode en nid d'abeilleGeodeduale.png

Dualité des solides de Platon

dual du cubedual de l'octaèdre
Le dual du cube est l'octaèdreLe dual de l'octaèdre est le cube
dual du dodécaèdredual de l'icosaèdre
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdreLe dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre

Voir aussi

Liens externes

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