Algèbre tensorielle

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Écriture générique d'un tenseur comme un mot
dont les lettres représentent des vecteurs.
Les lettres sont séparées par le symbole « ⊗ »
du produit tensoriel.

En mathématiques, une algèbre tensorielle est une algèbre sur un corps dont les éléments (appelés tenseurs) sont représentés par des combinaisons linéaires de « mots » formés avec des vecteurs d'un espace vectoriel donné. Les seules relations de dépendance linéaire entre ces mots sont induites par les combinaisons linéaires entre les vecteurs.

Si l'espace vectoriel sous-jacent est muni d'une base, son algèbre tensorielle s'identifie avec l'algèbre associative unitaire libre engendrée par cette base. Si cette base est finie, les tenseurs s'identifient avec des tableaux de coordonnées.

L'algèbre tensorielle permet d'étendre en morphismes d'algèbres toutes les applications linéaires d'un espace vectoriel vers les algèbres associatives unitaires. À ce titre, la construction de l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel est adjointe à gauche à l'oubli de la structure multiplicative.

Divers quotients de l'algèbre tensorielle constituent l'algèbre symétrique, l'algèbre extérieure

Construction mathématique

Définition par l'algèbre libre

Les sept mots de deux lettres ou moins
sur l'ensemble {}.
Le mot vide est noté « 1 ».

Un mot sur un ensemble est une suite finie d'éléments de cet ensemble, souvent notée sans séparateurs ni parenthèses. L'algèbre libre sur un ensemble est l'espace vectoriel des familles presque nulles indexées par les mots sur , muni de la multiplication induite par la concaténation. Chaque mot est identifié avec la suite qui vaut 1 en et 0 partout ailleurs.

La non-commutativité des lettres d'un mot empêche certaines simplifications usuelles comme dans l'égalité suivante :

.

Il n'y a pas d'annulation de (−) par (+), a contrario de l'identité remarquable valable pour les nombres réels ou complexes.

Exemple de relation linéaire entre deux éléments de l'algèbre tensorielle,
est un scalaire et , et sont des vecteurs.

Pour définir l'algèbre tensorielle sur un espace vectoriel , il suffit de considérer l'algèbre libre engendrée par tous les éléments de puis de la quotienter par l'idéal bilatère engendré par les relations linéaires sur . L'algèbre quotient est notée . Dans ce cadre, les vecteurs servant de lettres dans chaque mot sont souvent séparées par le symbole du produit tensoriel, semblable à la croix de multiplication inscrite dans un cercle.

Construction par produit tensoriel

On fixe un espace vectoriel sur un corps . Pour tout entier , on considère la puissance tensorielle ne sont pas tous de cette forme en général. Ils sont des sommes finies de tels vecteurs.

Bibliographie