Algèbre classique

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

L'algèbre élémentaire, également appelée algèbre classique est la branche des mathématiques dont l'objet est l'étude des opérations algébriques (addition, multiplication, soustraction, division et extraction de racine) sur les nombres réels ou complexes, et dont l'objectif principal est la résolution d'équations polynomiales.

Le qualificatif d'élémentaire (ou classique) est destiné à la différencier de l'algèbre générale (ou moderne), qui étudie les structures algébriques (groupes, corps commutatifs, etc.) généralisant les notions de nombre et d'opération. Elle se différencie également de l'arithmétique élémentaire par l'usage de lettres pour représenter les nombres inconnus.

En ce sens, l'adjectif algébrique peut, suivant les cas, être un synonyme de polynomial (comme dans courbe algébrique) ou l'antonyme d'arithmétique.

Expressions algébriques

Une expression algébrique est constituée de nombres, de lettres et de signes opératoires :

  • le signe est utilisé pour marquer l'addition.
  • le signe est utilisé pour marquer la soustraction.
  • les signes ou sont utilisés pour marquer la multiplication. Quand la multiplication concerne deux lettres, il est possible d'écrire au lieu de .
  • le signe est utilisé pour marquer la division, pouvant également s'écrire .

Par exemple :

  • Le produit d'un nombre augmenté de 3 par lui-même s'écrit .
  • La différence des carrés de deux nombres et s'écrit

Évaluer une expression algébrique consiste à attribuer une valeur à chacune des variables, puis à effectuer le calcul arithmétique obtenu.

Par exemple évaluer l'expression pour consiste à effectuer le calcul .

Propriétés de l'addition

Propriétés de la multiplication

Factorisation et développement

Factoriser une expression algébrique, , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs expressions (, , ...) :

Chacune des expressions , , ... est appelée un facteur.

Développer une expression algébrique, , consiste à en transformer l'écriture sous la forme d'une somme (ou différence) de deux ou plusieurs expressions. (, , ...) :

Chacune des expressions , , ... est appelée un terme.

Bibliographie

Ouvrages

Articles d'encyclopédies

  • (en) Yu. I. Merzlyakov et A.I. Shirshov, « Algebra », Encyclopaedia of Mathematics, Springer,‎ (ISBN lire en ligne)
  • « Algèbre », dans Encyclopédie Larousse, [lire en ligne]
  • Baruk, « Algèbre », dans Dictionnaire de mathématiques élémentaires [détail des éditions], § Algèbre classique.