Aire (géométrie)

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L'aire du carré vaut ici 4.

En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace.

Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie.

Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la limite par approximation. La mesure d'une aire peut être un nombre réel positif ou être infinie pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble.

Diverses techniques ont été élaborées pour mesurer une aire, de la méthode des indivisibles au calcul intégral et aux méthodes probabilistes comme la méthode de Monte-Carlo.

Définition formelle

Dans un espace euclidien de dimension 2, un domaine a une aire s'il est un ensemble mesurable pour la mesure de Jordan et son aire est égale à cette mesure.

Propriétés

Article détaillé : Théorie de la mesure.

L'aire S d'une surface plane suit quatre propriétés[1] :

  1. L'aire d'une surface plane bornée est un nombre positif ou nul.
  2. Une unité de longueur étant choisie, l'aire du carré de côté 1 est égale à 1.
  3. L'aire est additive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes A et B étant données, l'aire de leur union est la somme de leurs aires :
    S(AB) = S(A) + S(B).
    Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont la somme des aires est égale à l'aire de la figure initiale.
  4. L'aire est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie son aire.

La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel n supérieur à deux quelconque : si A1, A2An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives S(A1), S(A2)… S(An), alors

S(A1A2 ∪… ∪An) = S(A1) + S(A2) +… + S(An)

ce qui se note plus rigoureusement :

.

Grèce antique

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
par un raisonnement sur des aires de carrés.
Cette formule était déjà connue d'Archimède[32].

Monde arabo-musulman

Al-Khwârizmî, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique remontant à l'Antiquité.

Superficie

La superficie d'un espace au sol ou d'une surface physique plane ou gauche est sa mesure physique exprimée avec une unité de mesure. L'unité correspondante du Système international est le mètre carré[33] ou l'un de ses multiples ou sous-multiples, comme les ares ou hectares.

Cette mesure est parfois désignée par le terme « surface » lui-même, qui partage la même étymologie[34].

Les calculs de superficie liés à la notion de rendement agricole et à l'imposition fiscale ont motivé la notion d'aire en géométrie. La modélisation d'un terrain par une surface géométrique simple permet une évaluation efficace de sa superficie.

La superficie des entités administratives (par exemple en France, celle d'une commune, d'un département…) peut prendre plusieurs valeurs différentes selon qu'elle est mesurée en se limitant aux terres émergées ou en prenant en compte les surfaces en eau.

Notes et références

  1. Zalgaller Kudryavtsev.
  2. Faraut 2006, Avant-propos.
  3. Ce sont par exemple les trois qui sont rappelées dans Faraut 2006, Avant-propos.
  4. Perrin.
  5. L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dans Christine Proust, « Hoyrup, 2002 », Éducmath,‎ (lire en ligne).
  6. On trouvera une démonstration des cas entiers et fractionnaires, basés sur des exemples, dans Tannery 1903, p. 93-94. Pour une version plus complète, voir Perrin, p. 9.
  7. Perrin, p. 9.
  8. Amiot 1870, p. 159.
  9. Amiot 1870, p. 160.
  10. Amiot 1870, p. 162-163.
  11. Voir un raisonnement analogue par exemple dans Tannery 1903, p. 100-101.
  12. D'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est notamment celle donnée par le Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p. 67).
  13. Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, p. 67).
  14. Tannery 1903, p. 277 et suivantes pour un exposé complet avec démonstrations.
  15. Collette, tome 1, p. 55.
  16. Dominique Barataud, « Aire et périmètre », dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’http://eduscol.education.fr/.
  17. (en) Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 2 : From Aristarchus to Diophantus, Dover, (1re éd. 1921) (ISBN lire en ligne), p. 206.
  18. Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre », sur Institut de mathématiques de Jussieu (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy), p. 2.
  19. « Le problème isopérimétrique », sur IREM d'Orléans, p. 2.
  20. « Le problème isopérimétrique », sur IREM d'Orléans, p. 1.
  21. Teissier 1999, p. 6.
  22. a et b Troyanov 2009, p. 318, 336.
  23. Voir Qu’est-ce qu’une surface minimale ?, vidéos du Palais de la découverte.
  24. Hopkins 2003, p. 159.
  25. Hopkins 2003, p. 148-149.
  26. a et b Versteegh et al. 2005, p. 73.
  27. a et b Hopkins 2003, p. 78.
  28. Joseph et al. 2009, chap. 21.
  29. a, b, c et d Dahan-Dalmedico et Pfeiffer, p. 120-121.
  30. a, b et c Collette, tome 1, p. 41-42.
  31. Traduction libre et adaptation depuis Robson 2008, p. 65.
  32. Collette, tome 1, p. 95
  33. Table des unités SI dérivées sur le site du Bureau international des poids et mesures.
  34. « Superficie », Dictionnaire historique de la langue française, Dictionnaires Le Robert 1992.

Voir aussi

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Articles connexes

Bibliographie

  • A. Amiot, Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, Paris, C. Delagrave et Cie, , 428 p. (lire en ligne)
  • Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, vol. 1, Montréal, Vuibert/ERPI,
  • Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, vol. 2, Montréal, Vuibert/ERPI,
  • Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, [détail des éditions]
  • (en) Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller et L. D. Kudryavtsev, « Area », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN lire en ligne)
  • Jacques Faraut, Calcul intégral, EDP Sciences, coll. « Enseignement sup. Mathématiques », , 196 p. (ISBN 2-86883-912-6)
  • Roberto Gonzalo et Karl J. Habermann (trad. Yves Minssart), Architecture et efficacité énergétique : Principes de conception et de construction, Springer, , 221 p. (ISBN 3-7643-8451-4)
  • William G. Hopkins (trad. Serge Rambour), Physiologie végétale, De Boeck Université, , 532 p. (ISBN 2-7445-0089-5)
  • Philippe Joseph (dir.), Écosystèmes forestiers des Caraïbes, Karthala Editions, , 777 p. (ISBN 2-8111-0090-3)
  • Mandelbrot, Les objets fractals, 4e édition, Flammarion, (ISBN présentation en ligne)
  • Aires et volumes : découpage et recollement », Euler, Académie de Versailles
  • (en) Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, Princeton University Press, , 442 p. (ISBN 9780691091822)
  • Paul Tannery, Notions de mathématiques, Notions historiques, Paris, C. Delagrave, , 352 Paul Tannery, Notions de mathématiques, Notions historiques, Paris, C. Delagrave, , 352 lire en ligne)
  • Marc Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, , 358 p.
  • Pieter Versteegh, Vincent Kaufmann, Michel Malet et Florinel Radu, Méandres : penser le paysage urbain, Lausanne, PPUR, , 192 p. (ISBN 978-2-88074-623-0)
  • Bernard Vitrac, « Les géomètres de la Grèce antique : Mesurer et démontrer », CultureMath,‎ (lire en ligne)